Daftar Isi
Pendahuluan
Persamaan garis singgung adalah salah satu konsep penting dalam matematika. Garis singgung adalah garis yang menyentuh kurva pada satu titik dan memiliki gradien yang sama dengan gradien kurva di titik tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal persamaan garis singgung beserta penyelesaiannya.
Apa itu Persamaan Garis Singgung?
Persamaan garis singgung adalah persamaan matematika yang menggambarkan garis yang menyentuh kurva pada satu titik tertentu dengan gradien yang sama dengan gradien kurva di titik tersebut. Persamaan ini memungkinkan kita untuk memodelkan hubungan antara suatu kurva dengan garis singgungnya pada titik-titik tertentu.
Kegunaan Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang. Beberapa contoh penggunaannya adalah dalam grafika komputer untuk menggambar objek yang terlihat lebih halus, dalam fisika untuk memodelkan pergerakan benda pada lintasan melengkung, dan dalam ekonomi untuk memprediksi perubahan dalam tingkat pertumbuhan atau penurunan suatu variabel tertentu.
Contoh Soal 1
Diberikan persamaan kurva y = x^2 – 2x + 1. Tentukan persamaan garis singgung pada titik (1, 0).
Langkah pertama adalah mencari gradien kurva pada titik tersebut. Untuk mencari gradien, kita perlu menghitung turunan pertama dari persamaan kurva.
Turunan pertama dari y = x^2 – 2x + 1 adalah y’ = 2x – 2.
Substitusikan x dengan nilai 1 untuk mencari gradien pada titik (1, 0).
y’ = 2(1) – 2 = 0.
Jadi, gradien kurva pada titik (1, 0) adalah 0.
Untuk mencari persamaan garis singgung, kita gunakan rumus persamaan garis y – y1 = m(x – x1), di mana (x1, y1) adalah titik yang diketahui dan m adalah gradien.
Substitusikan nilai x1, y1, dan m yang telah kita temukan.
y – 0 = 0(x – 1).
y = 0.
Jadi, persamaan garis singgung pada titik (1, 0) adalah y = 0.
Contoh Soal 2
Diberikan persamaan kurva y = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 5. Tentukan persamaan garis singgung pada titik (2, 13).
Langkah pertama adalah mencari gradien kurva pada titik tersebut. Caranya adalah dengan menghitung turunan pertama dari persamaan kurva.
Turunan pertama dari y = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 5 adalah y’ = 6x^2 + 6x – 12.
Substitusikan x dengan nilai 2 untuk mencari gradien pada titik (2, 13).
y’ = 6(2)^2 + 6(2) – 12 = 24 + 12 – 12 = 24.
Jadi, gradien kurva pada titik (2, 13) adalah 24.
Gunakan rumus persamaan garis y – y1 = m(x – x1) untuk mencari persamaan garis singgung.
Substitusikan nilai x1, y1, dan m yang telah kita temukan.
y – 13 = 24(x – 2).
y – 13 = 24x – 48.
y = 24x – 35.
Jadi, persamaan garis singgung pada titik (2, 13) adalah y = 24x – 35.
Contoh Soal 3
Diberikan persamaan kurva y = 5x^2 – 10x + 3. Tentukan persamaan garis singgung pada titik (0, 3).
Langkah pertama adalah mencari gradien kurva pada titik tersebut. Caranya adalah dengan menghitung turunan pertama dari persamaan kurva.
Turunan pertama dari y = 5x^2 – 10x + 3 adalah y’ = 10x – 10.
Substitusikan x dengan nilai 0 untuk mencari gradien pada titik (0, 3).
y’ = 10(0) – 10 = -10.
Jadi, gradien kurva pada titik (0, 3) adalah -10.
Gunakan rumus persamaan garis y – y1 = m(x – x1) untuk mencari persamaan garis singgung.
Substitusikan nilai x1, y1, dan m yang telah kita temukan.
y – 3 = -10(x – 0).
y – 3 = -10x.
y = -10x + 3.
Jadi, persamaan garis singgung pada titik (0, 3) adalah y = -10x + 3.
Kesimpulan
Persamaan garis singgung adalah persamaan yang menggambarkan garis yang menyentuh kurva pada satu titik dengan gradien yang sama dengan gradien kurva di titik tersebut. Dalam artikel ini, kita telah melihat contoh-contoh soal persamaan garis singgung dan cara menyelesaikannya. Persamaan ini memiliki banyak kegunaan dan dapat digunakan dalam berbagai bidang. Dengan memahami konsep persamaan garis singgung, kita dapat menerapkannya dalam memodelkan dan memprediksi hubungan antara suatu kurva dengan garis singgungnya.
